Книги-online

Ортогональные полиномы.

И в библиотеке бывают рекламные паузы.

Ортогональные полиномы.

Вычисление значения полиномов Чебышева I-го и II-го рода от заданного аргумента.

Полиномы Чебышева I-го рода Tn(x) и II-го рода Un(x) определяются как,

	Tn(x)=cos(n arccos x)
	Un(x)=sin(n arccos x)

При этом получаем

Функции Tn(x) и Un(x) удовлетворяют рекуррентной формуле:

	Wn+1(x)=2x Wn(x)-Wn-1(x)

Процедура вычисляет значения полиномов Чебышева n-го порядка в заданной точке x. Переменная r определяет род полинома: r=1 - полином I-го рода, r=2 - полином II-го рода. Результат помещается в переменную Result. Наверх

Вычисление коэффициентов полинома Чебышева I-го рода.

Процедура производит вычисление коэффициентов полиномов Чебышева I-го рода на основании явного выражения для многочлена Tn(x):

где k= n div 2 и

из последнего выражения следует рекуррентное соотношение для коэффициентов am:

которое мы используем в нашей процедуре. При чем a0=1 при n=0, и a0=1/2n-1 при n > 0.

Коэффициенты полинома помещаются в массив a. Следует отметить что a[m] - коэффициент при xn-2m, а не при xm. Наверх

Вычисление суммы ряда по полиномам Чебышева от заданного аргумента(методом Кленшоу).

Процедура вычисляет значение функции:

	Sn(x)=a0(x)Ф0(x)+...+an(x)Фn(x)

здесь Фn(x) - n-ый полином Чебышева(I-го или II-го рода). При вычислении используется метод Кленшоу, согласно которому

	Sn(x)=(a0-b2(x))Ф0(x)+b1(x)Ф1(x)

а значения bk вычисляются последовательно по формулам:

	bk(x)=2xbk+1(x)-bk+2(x)+ak(x), bn+1(x)=bn+2(x)=0

На вход функции подается массив а коэффициентов в переменной Result получаем значение суммы. Переменная r выступает в роли переключателя: r=1 - сумма по полиномам Чебышева I-го рода, r=2 - II-го рода.

Описание данного метода мне прислал Вячеслав Андреев. Более подробно о методе Кленшоу см. статью Наверх

Восстановление коэффициентов полинома, заданного разложением по полиномам Чебышева.

Пусть известны коэффициенты a0,a1, ..., an разложения многочлена Р(x) по полиномам Чебышева {Тk(x)}:

	P(x)=a0T0(x)+...+anTn(x)

Алгоритм вычисляет коэффициенты b0,b1, ..., bn разложения этого многочлена по степеням x:

	P(x)=b0+b1x+...+bnxn

Основой алгоритма служит рекурентная формула для полиномов Чебышева:

	Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)
	T0(x)=1
	T1(x)=x

В блок-схеме используется массив A для коэффициентов разложения по полиномам Чебышева и массив B для коэффициентов разложения по степеням x. Наверх

Вычисление значения полиномов Эрмита от заданного аргумента.

Полиномы Эрмита Hn(x) определяются как,

При этом Hn(x) удовлетворяют рекуррентной формуле:

	Hn+1(x)=2x Hn(x)-2nHn-1(x)

причем H0(x)=1, H1(x)=2x.

Процедура вычисляет значения полиномов Эрмита n-го порядка в заданной точке x, результат помещается в переменную Result. Наверх

Вычисление коэффициентов полинома Эрмита.

Процедура производит вычисление коэффициентов полиномов Эрмита на основании формул:

где k= n div 2, а коэффициенты определяются по формулам:

Отсюда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов am:

которое мы используем в нашей процедуре.

Коэффициенты полинома помещаются в массив a. Следует отметить что a[m] - коэффициент при xn-2m, а не при xm. Наверх

Вычисление суммы ряда по полиномам Эрмита от заданного аргумента(метод Кленшоу).

Процедура вычисляет значение функции:

	Sn(x)=a0(x)H0(x)+...+an(x)Hn(x)

При вычислении используется метод Кленшоу, согласно которому получаем:

	Sn(x)=b0(x)

а значения bk вычисляются последовательно по формулам:

	bk(x)=2xbk+1(x)-(k+1)bk+2(x)+ak(x), bn+1(x)=bn+2(x)=0

На вход функции подается массив а коэффициентов в переменной Result получаем значение суммы.

Описание данного метода мне прислал Вячеслав Андреев. Более подробно о методе Кленшоу см. статью Наверх

Вычисление значения полиномов Лежандра от заданного аргумента.

Полиномы Лежандра Un(x) определяются как,

Функции Pn(x) удовлетворяют рекуррентной формуле:

	(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)x Pn(x)-nPn-1(x)

при этом P0(x)=1, P1(x)=x

Процедура вычисляет значения полиномов Лежандра n-го порядка в точке x. Результат помещается в переменную Result. Наверх

Вычисление коэффициентов полинома Лежандра.

Процедура производит вычисление коэффициентов полиномов Лежандра на основании явного выражения для многочлена Pn(x):

где k= n div 2, а коэффициенты определяются по формулам:

Отсюда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов am:

которое мы используем в нашей процедуре.При чем:

Коэффициенты полинома помещаются в массив a. Следует отметить что a[m] - коэффициент при xn-2m, а не при xm. Наверх

Вычисление суммы ряда по полиномам Лежандра от заданного аргумента (метод Кленшоу).

Процедура вычисляет значение функции:

	Sn(x)=a0(x)P0(x)+...+an(x)Pn(x)

здесь Pn(x) - n-ый полином Лежандра. При вычислении используется метод Кленшоу, согласно которому

	Sn(x)=b0(x)

а значения bk вычисляются последовательно по формулам:

	bk(x)=(2k+1)xbk+1(x)/(k+1)-(k+1)bk+2(x)/(k+2)+ak(x), bn+1(x)=bn+2(x)=0

На вход функции подается массив а коэффициентов,на выходе в переменной Result получаем значение суммы.

Описание данного метода мне прислал Вячеслав Андреев. Более подробно о методе Кленшоу см. статью Наверх

Вычисление значения полиномов Лагерра от заданного аргумента.

Полиномы Лагерра Ln(x) определяются как,

Функции Ln(x) удовлетворяют рекуррентной формуле:

	(n+1)Ln+1(x)=(2n+1-x)Ln(x)-nLn-1(x)

при этом L0(x)=1,L1(x)=1-x.

Процедура вычисляет значения полиномов Лагерра n-го порядка в точке x. Результат помещается в переменную Result. Наверх

Вычисление коэффициентов полинома Лагерра.

Процедура производит вычисление коэффициентов полиномов Лагерра на основании явного выражения для многочлена Ln(x):

где коэффициенты определяются по формулам:

Отсюда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов am:

которое мы используем в нашей процедуре.При чем:

	a0=1

Коэффициенты полинома помещаются в массив a. Наверх

Вычисление суммы ряда по полиномам Лагерра от заданного аргумента (метод Кленшоу).

Процедура вычисляет значение функции:

	Sn(x)=a0(x)L0(x)+...+an(x)Ln(x)

здесь Ln(x) - n-ый полином Лагерра. При вычислении используется метод Кленшоу, согласно которому

	Sn(x)=b0(x)

а значения bk вычисляются последовательно по формулам:

	bk(x)=(2k+1-x)bk+1(x)/(k+1)-(k+1)bk+2(x)/(k+2)+ak(x), bn+1(x)=bn+2(x)=0

На вход функции подается массив а коэффициентов,на выходе в переменной Result получаем значение суммы.

Описание данного метода мне прислал Вячеслав Андреев. Более подробно о методе Кленшоу см. статью Наверх