Книги-online
Интерполяция функций.
|
|
| И в библиотеке бывают рекламные паузы. |
Интерполяция функций.
Полином Лагранжа по Эйтекену.
Пусть на отрезке [a,b] дано n+1 значение функции Fi=F(xi) в n+1 различных точках: x0,x1, . . . , xn. Тогда полином степени не выше n, имеющий в заданных узлах значение Fi, есть полином Лагранжа:
Вычисление значений Ln(x) по данной формуле осуществляется по итерационной формуле Эйтекена. Начальные значения Fi теряются. Интервалы [xi,xi+1] могут быть неравными.
Наверх
Рациональная интерполяция с помощью непрерывных дробей.
Если задано m значений функции Fi=F(xi) в m точках x1,x2, . . . , xm, то F(x) может быть определено по формуле:
Эта непрерывная дробь может быть представлена в виде рациональной функции:
где l не превосходит m1=trunc(m/2).
Наверх
Интерполяция по Ньютону.
Пусть на отрезке [a,b] задано n+1 значение аргумента:x0=a,x1, . . . , xn=b и n+1 значение функции yi=y(xi). Тогда интерполяционный многочлен степени n в форме Ньютона может быть построен по следующим формулам:
где
N0(x)=1,
Ni(x)=(x-x0)(x-x1). . .(x-xi-1)(i=1,..,n),
Ci=[x0,x1,. . .,xi],
[xi]=yi(i=0,n),
[x0,x1,. . .,xi]=([x1,. . .,xi]-[x0,. . .,xi-1])/(xi-x0).
Выражение [x0,x1,. . .,xi] называется разделенной разностью.
Наверх
Коэффициенты тригонометрического полинома.
Пусть на промежутке 
задано k значений Fi некоторой функции F(x) в равноотстоящих точках 
, где i=0,1,. . . ,k. В этом случае функцию F(x) целесообразно интерполировать тригонометрическим полиномом:
причем Qn(xi)=Fi=F(xi).
Процедура вычисляет коэфициенты ai , bi i=1,..,k. В дальнейшем для вычисления значения полученного полинома в точке x можно воспользоваться алгоритмом Сумма ряда Фурье.
Наверх
Интерполяция функции кубическими сплайнами.
Пусть заданы точки x1,x2,...,xn и соответствующие им значения y1,y2,...,yn функции f(x). На каждом из отрезков [xi,xi+1], i=1,2,...,n-1 функцию приближаем при помощи полинома степени 3, вида:
S(x)=yi+c1 i(x-xi)+c2 i(x-xi)2+c3 i(x-xi)3, xi< x <xi+1
Для вычисления коэффициентов c1 i , c2 i , c3 i , i=1,2,...,n-1 решается система линейных уравнений, построенная из условия непрерывности производной S'(x) в узлах сетки и дополнительных краевых условий на вторую производную, которые имеют вид:
2 * S''1 + b1 * S''2 = b2
b3 * S''N - 1 + 2 * S''N = b4
здесь возможны два случая. Случай первый, когда известны значения первой производной в краевых точках (y'1=y'(x1), y'n=y'(xn)), тогда следует положить:
b1=1, b2=(6/(x2-x1))*((y2- y1)/(x2-x1)-y'1),
b3=1, b4=(6/(xn-xn-1))*(y'n-(yn-yn-1)/(xn-xn-1))
Случай второй, когда известны значения второй производной (y''1=y''(x1), y''n=y''(xn)), тогда полагаем:
b1=0, b2=2*y''1
b3=0, b4=2*y''N
Отметим, что точки xi должны быть отсортированы по возрастанию.
На вход алгоритма подаются массивы x, y на выходе получаем матрицу c:array[1..3,1..n]. Чтобы получить значение интерполируемой функции f в точке x необходимо в начале определить какому из отрезков разбиения она принадлежит (т.е. найти такое i, что xi< x <xi+1) и затем воспользоваться формулой S(x) с сответствующими c1 i , c2 i , c3 i, yi.
Алгоритм взят с сайта численного анализа, который я еще раз рекомендую всем кто сталкивается с задачами численного анализа. Так же не плохая глава по сплайнам есть в книге Каханер Д., Моулер К., Нэш С. "Численные методы и программное обеспечение".
Наверх
